Le potenze

Consideriamo una moltiplicazione con tutti i fattori uguali: 2∙2∙2. Possiamo scriverla in modo sintetico ottenendo una nuova operazione aritmetica che si chiama 
elevamento a potenza: 2∙2∙2=2³=8
La scrittura 2³ si legge "due alla terza". Questa operazione associa a due termini, detti base ed esponente, il prodotto della base tante volte per se stessa quante indicate dall'esponente. Il risultato si chiama potenza.

A parole Dati due numeri naturali a ed n, con n ≠ 0, la potenza aⁿ è uguale al prodotto di tanti fattori uguali alla base a quanti indicati dall'esponente n. inoltre a⁰ = 1

In simboli ∀ a, n Є N, n ≠ 0 si ha aⁿ = a∙a∙…∙a                                                 ↑                                           n volte a⁰ = 1

Esempio

3⁴=3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3=81     5³=5 ∙ 5 ∙ 5=125     8⁴=8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8=4096

Attenzione

Anche se l’elevamento a potenza deriva dalla moltiplicazione, le due operazioni sono distinte. Abbiamo, per esempio, 7² ≠ 7 ∙ 2, infatti 7²= 49 mentre 7 ∙ 2= 14.

Alcune potenze si leggono in modo particolare.

La potenza L² è letta anche "L al quadrato" in quanto rappresenta l'are di un quadrato con i lato che misura L: 5² si legge "cinque alla seconda" oppure "cinque al quadrato".

La potenza L³ è letta anche "L al cubo" poichè rappresenta il volume di un cubo con lo spigolo che misura L: 6³ si legge "sei alla terza" oppure "sei al cubo".


L'elevamento a potenza è un'operazione interna all'insieme dei numeri naturali.
Il ruolo dello 0 e dell' 1 nell'elevamento a potenza.

Caso	In simboli	Esempio
Se l’esponente è 1, la potenza è uguale alla base.	a¹ = a	5¹=5
Se la base è 1, la potenza è uguale a 1.	1ⁿ = 1	1³=1∙1∙1=1
Se la base è 0 e l’esponente diverso da 0 la potenza è uguale a 0.	0ⁿ = 0	0³=0∙0∙0=0
Se l’esponente è 0, la potenza è uguale a 1.	a⁰ = 1	3⁰ = 1

Il motivo per cui si pone a⁰ = 1 risulterà chiaro quando parleremo delle proprietà delle potenze.
La scrittura 0⁰ non ha significato.
Se calcoliamo ora 10³ e 10⁵ :
10³ =  10 ∙10 ∙10= 1000       10⁵ = 10 ∙10 ∙10 ∙10 ∙10= 100 000

Una potenza con base 10 è data dal numero formato da 1 seguito da tanti zeri quanti indicati dall'esponente.

10ⁿ = 100...0

         ↑

          n zeri

L'elevamento a potenza si applica anche ai numeri decimali. Più precisamente, la potenza di un numero decimale si trova calcolando la potenza del numero ignorando la virgola e scrivendo il risultato con tante cifre decimali quante indicate dal prodotto tra l'esponente e  il numero di cifre decimale della base.

Esempio

0,02³ = 0,02 ∙ 0,02 ∙ 0,02 = 0,000008

    ↑                                             ↑

2 cifre                                                    6 cifre

LE ESPRESSIONI

Numeri e operatori possono essere legati fra loro dando origine alle espressioni.

Un'espressione aritmetica è un insieme di due o più numeri separati da simboli di operazione ed eventualmente racchiusi in parentesi.

Il valore o il risultato dell'espressione è il numero che si trova calcolando, in modo corretto, tutte le operazioni indicate.
Nelle espressioni è molto importante tener conto dell'ordine in cui si eseguono le operazioni e questo dipende anche dalla presenza o no delle parentesi. In un'espressione senza parentesi si eseguono prima le moltiplicazioni e le divisioni nell'ordine in cui compaiono e poi le addizioni e le sottrazioni, sempre nell'ordine in cui sono scritte.

Esempio   

5+8-3∙2+11+20:4=   Prima moltiplicazioni e divisioni

=5+8-6+11+5=         Poi addizioni e sottrazioni =13-6+11+5=           nell'ordine in cui compaiono =7+11+5=

=18+5=23                 Risultato

   

Quando invece nelle espressioni appaiono le parentesi, dobbiamo procedere come se in ogni parentesi ci fosse una espressione. Svolgeremo prima le operazioni nelle parentesi tonde () seguendo l'ordine visto per le espressioni senza parentesi. Sostituiremo alle espressioni nelle parentesi tonde i rispettivi valori. Successivamente eseguiremo le operazioni nelle parentesi quadre [] e infine nelle parentesi graffe {} .

Esempio

25∙2+9∙8:{56+3∙[5+6∙(3∙4-10)-17]-5∙4}= =25∙2+9∙8:{56+3∙[5+6∙(12-10) -17]-5∙4}= =25∙2+9∙8:{56+3∙[5+6∙2-17]-5∙4}= =25∙2+9∙8:{56+3∙[5+12-17]-5∙4}= =25∙2+9∙8:{56+3∙[17-17]-5∙4}= =25∙2+9∙8:{56+3∙0-5∙4}= =25∙2+9∙8:{56+0-20}= =25∙2+9∙8:36= =50+72:36= =50+2= 52

In alcune espressioni possono comparire anche delle lettere.

Un'espressione letterale è un insieme di lettere e numeri separate da simboli di operazione ed eventualmente racchiusi in parentesi.

Per esempio [(3-a)∙b+1]∙4∙b è un'espressione letterale. Ogni volta che assegniamo dei valori alle lettere a e b otteniamo un'espressione numerica di cui possiamo calcolare il valore.

Esempio

Calcoliamo il valore dell'espressione

                                       {[(a∙b-3):a]∙b-0:c}-c

nel caso in cui a=3, b=4 e c=5.

L'espressione diventa

{[(3∙4-3):3]∙4-0:5}-5=  ←sostituiamo i valori alle lettere

={[(12-3):3]∙4-0:5}-5= ←troviamo il valore dell'espressione

={[9:3]∙4-0:5}-5=

={3∙4-0:5}-5=

={12-0}-5=

=12-5=7

LA DIVISIONE A DUE CIFRE

Divisione a due cifre altro esempio

DIVISIONE A DUE CIFRE ALTRO ESEMPIO

ALTRO ESEMPIO 352 : 16

METTIAMO IN COLONNA :

 

VEDIAMO CHE IL 16 E' CONTENUTO

 NEL NELLE PRIME DUE CIFRE DEL DIVIDENDO CIOE' NEL 35

E METTIAMO IL SEGNO O CAPPELLINO SOPRA IL 35 :

 

ADESSO VEDIAMO L' 1 DEL DIVISORE QUANTE VOLTE PUO' ESSERE CONTENUTO NEL 3 DEL DIVIDENDO PROVIAMO 3 VOLTE :

 

 PARTENDO DAL SECONDO NUMERO DEL DIVISORE MOLTIPLICHIAMO

6 X 3 CHE FA 18 , AD ARRIVARE A CINQUE DEL DIVIDENDO NON SI PUO' PERCIO' IL 5 SI FA PRESTARE 2 DECINE DAL 3 E DIVENTA 25 , QUINDI 18 AD ARRIVARE A 25  CE NE VOGLIONO 7 E SCRIVIAMO SOTTO IL 5 DEL DIVIDENDO :

 



 

POI MOLTIPLICHIAMO IL PRIMO NUMERO DEL DIVISORE 1 X 3 CHE FA 3 + 2 CHE SAREBBERO LE DUE DECINE CHE DOBBIAMO RESTITUIRE E FA 5 AD ARRIVARE A 3 NON SI PUO' PERCHE' IL 5 E' PIU' GRANDE :

 

ALLORA ABBASSIAMO DI UNA CIFRA E METTIAMO 2, QUINDI 6 X 2 = 12 AD ARRIVARE A 15  CE NE VOGLIONO 3, PERCHE' IL CINQUE SI FA DARE UNA DECINA DAL 3 ,
E METTIAMO 3 SOTTO IL 5 DEL DIVIDENDO :

 

ORA FACCIAMO 1 X 2 = 2 + 1 CHE E' LA DECINA DA RESTITUIRE FA 3 AD ARRIVARE A 3 0 E LO SCRIVIAMO SOTTO IL 3 DEL DIVIDENDO :

 

SI ABBASA IL 2 DEL DIVIDENDO AFFIANCO AL 3 E FA 32 :

 

ADESSO L'1 NEL 3 E CONTENUTO 3 VOLTE MA ABBIAMO VISTO  POCO FA CHE L'OPERAZIONE NON POTEVA ANDARE AVANTI E PERCIO' ABBASSIAMO DI UNA CIFRA E METTIAMO 2

E FACCIAMO 6 X 2 = 12 AD ARRIVARE A 12 CE NE VOGLIONO 0 (PERCHE' IL DUE SI FA DARE UNA DECINA DAL 3), E LO SCRIVIAMO SOTTO IL 2 DEL DIVIDENDO :

 

POI SI FA 1 x 2 = 2 + 1 ( CHE E' LA DECINA DA RESTITUIRE) FA 3 AD ARRIVARE A 3 CE NE VOGLIONO 0 E LO SCRIVIAMO SOTTO IL 3 DEL DIVIDENDO

 

 

 



 

QUINDI IL NOSTRO RISULTATO CIOE' IL QUOZIENTE SARA'