Le potenze

Consideriamo una moltiplicazione con tutti i fattori uguali: 2∙2∙2. Possiamo scriverla in modo sintetico ottenendo una nuova operazione aritmetica che si chiama 
elevamento a potenza: 2∙2∙2=2³=8
La scrittura 2³ si legge "due alla terza". Questa operazione associa a due termini, detti base ed esponente, il prodotto della base tante volte per se stessa quante indicate dall'esponente. Il risultato si chiama potenza.

A parole Dati due numeri naturali a ed n, con n ≠ 0, la potenza aⁿ è uguale al prodotto di tanti fattori uguali alla base a quanti indicati dall'esponente n. inoltre a⁰ = 1

In simboli ∀ a, n Є N, n ≠ 0 si ha aⁿ = a∙a∙…∙a                                                 ↑                                           n volte a⁰ = 1

Esempio

3⁴=3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3=81     5³=5 ∙ 5 ∙ 5=125     8⁴=8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8=4096

Attenzione

Anche se l’elevamento a potenza deriva dalla moltiplicazione, le due operazioni sono distinte. Abbiamo, per esempio, 7² ≠ 7 ∙ 2, infatti 7²= 49 mentre 7 ∙ 2= 14.

Alcune potenze si leggono in modo particolare.

La potenza L² è letta anche "L al quadrato" in quanto rappresenta l'are di un quadrato con i lato che misura L: 5² si legge "cinque alla seconda" oppure "cinque al quadrato".

La potenza L³ è letta anche "L al cubo" poichè rappresenta il volume di un cubo con lo spigolo che misura L: 6³ si legge "sei alla terza" oppure "sei al cubo".


L'elevamento a potenza è un'operazione interna all'insieme dei numeri naturali.
Il ruolo dello 0 e dell' 1 nell'elevamento a potenza.

Caso	In simboli	Esempio
Se l’esponente è 1, la potenza è uguale alla base.	a¹ = a	5¹=5
Se la base è 1, la potenza è uguale a 1.	1ⁿ = 1	1³=1∙1∙1=1
Se la base è 0 e l’esponente diverso da 0 la potenza è uguale a 0.	0ⁿ = 0	0³=0∙0∙0=0
Se l’esponente è 0, la potenza è uguale a 1.	a⁰ = 1	3⁰ = 1

Il motivo per cui si pone a⁰ = 1 risulterà chiaro quando parleremo delle proprietà delle potenze.
La scrittura 0⁰ non ha significato.
Se calcoliamo ora 10³ e 10⁵ :
10³ =  10 ∙10 ∙10= 1000       10⁵ = 10 ∙10 ∙10 ∙10 ∙10= 100 000

Una potenza con base 10 è data dal numero formato da 1 seguito da tanti zeri quanti indicati dall'esponente.

10ⁿ = 100...0

         ↑

          n zeri

L'elevamento a potenza si applica anche ai numeri decimali. Più precisamente, la potenza di un numero decimale si trova calcolando la potenza del numero ignorando la virgola e scrivendo il risultato con tante cifre decimali quante indicate dal prodotto tra l'esponente e  il numero di cifre decimale della base.

Esempio

0,02³ = 0,02 ∙ 0,02 ∙ 0,02 = 0,000008

    ↑                                             ↑

2 cifre                                                    6 cifre